设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0．

设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是|B|≠0．

证明：如果|B|≠0，则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以 对一切非零向量X有y=BX也是非零向量，而A正定，因此 X^T(B^TAB)X=(BX)^T(BX)=Y^TAY>0 即B^TAB正定． 反之，如果B^TAB正定，则|B^TAB|＞0 所以|B^T|A|•|B|=|A|•|B|2＞0，当然有|B|≠0．